平成29年度都立高校入試問題（作成：東京都教育委員会）第5問
例年通りの体積を求める問題を含む空間図形の問題です。
それでは問１から見ていきましょう。
問１は例年に比べると難しく感じた生徒が多かったかも知れません。空間図形の中から平面図形を取り出して考えるのが定石ですが、今回はMPを含む平面が図の中にないので自分で作る必要があるのです。
まず点MからBDに垂線を下ろし、その点をNとしました。∠ABD＝90°なので点NはBDの中点になります。そして点NとPを結べば△MPNが作られます。この三角形は直角三角形なので、MNやPNの長さがわかれば三平方の定理からMPの長さが求められます。
上の図のように△BCDが正三角形であることに気づいていれば、それぞれの長さはスムーズに求められると思います。あとは三平方の定理でも比でもいいので、MP＝５を導き出して下さい。
続いて問２を見ていきましょう。
まずAC＝１０㎝は比でも三平方の定理でもいいので出しておきましょう。これで点QはACを１：４に分ける点であるということがわかります。また底面を△QBPとしたときの高さ（点Mの位置）は、点Dまでの高さと比べると半分になっているということも気づいておきましょう。
そこまでわかってくれば式の立て方は上のような方法以外にも何通りもあると思います。1つ目の式は底辺BP＝５㎝、高さは８㎝の５分の４と考えて底面積を出し、高さは半分ということで２分の１を掛けています。２分の１を掛ける前の高さは「底面積から点Dまでの高さ」＝「正三角形DBCにおいて点DからBCに下ろした垂線の長さ」と考えて３√３を求めました。
２つ目の式は先に一番大きい三角錐A-BCDの体積を求めてしまい、そこから底面積や高さを小さくしていく手法で式を立てました。正三角形の面積は公式を利用しているので少し難しく見えるかも知れませんね。
他にも求め方はあると思いますので、色々考えてみると理解が深まると思います。
＜総評＞問１がやや難しい分、問２が簡単になっている印象です。空間図形は苦手な生徒が多い単元です。時間をかけて理解を深めたいですね。