平成23年度都立日比谷高等学校自校作成問題（都立日比谷高等学校作成）第4問
空間図形の問題です。動点があるわけでもなく、比較的考えやすい問題です。わかりづらい時は空間図形の中の平面図形を取り出して書いてみるといいですよ。
それでは問１から見ていきましょう。
△ＡＫＣが直角三角形なので線分ＡＣ、ＣＫの長さがわかれば、線分ＡＫの長さもわかりそうですね。順に求めていきます。まず△ＣＫＬ（二等辺三角形）から整理します。ＣＫを求める為に高さを求めます。面積がわかっているので、高さはすぐにわかりますね。
高さがわかれば三平方の定理で普通にＣＫも求められますが、辺の比に注目すれば２：１：√５の三角形だとわかるので、すぐにＣＫが求められます。この３辺の比は２：１：√３と混同しやすく、学校では教えない場合が多いですが、よく利用するので進学塾などではほぼ間違いなく教えています。当塾でも生徒のレベルに合わせて混乱しないと思われる生徒には教えるようにしています。
ＣＫがわかればあとはひと息ですね。ＡＣも辺の比で求めればＡＫまで求められます。上の解答では普通に三平方の定理で求めていますが、少し簡単にする方法として、ＣＫもＡＣも５が付いているので、５をはずした√５と√２で残りの辺を求めて、その答えの√３に５を付けて答えとしてもいいです。
では続いて問２です。
これはＣＯが立体の高さになっていることに気付ければ、問１よりもはるかに簡単な問題ですね。
辺と面の位置関係は図の中ではわかりにくい場合が多いですが、それらを含む大きな面同士の位置関係に注目するとわかりやすくなります。この場合だと、ＣＯを含む「底面（円Ｏ）」と△ＯＫＬを含む「面ＡＤＥＢ」の位置関係に注目すれば、この二つの面が垂直であることはすぐにわかると思います。さらに線分ＡＢとＣＯも垂直ですからＣＯが立体Ｃ－ＯＫＬの高さになるというわけです。
最後に問３です。
学校発表の模範解答には二等辺三角形であることの証明などまでかなり細かく書いてあるので、一度目を通しておいた方がよいでしょう。
この問題の解答の方針ですが、同じ立体を２つの見方（Ｃ－ＦＫＬとＦ－ＣＫＬ）をして体積から高さを求めます。この手法は応用問題ではよく利用するので知っている生徒も多いかと思います。弧の長さの比から中心角60度がわかってしまえば、あとはそれほど苦労せずに進められるのではないでしょうか。もちろん応用問題ではありますが、垂直などは気付きやすく、むしろ答えまで出せた後に、それをどう整理してきちんと書くことができるかを見ようとしている問題だと感じます。
＜総評＞問３はきちんと書こうと思えばかなり長くなります。限られた時間の中でどれだけ処理・表現できるか、経験をフルに活かせる問題ですね。