平成23年度都立日比谷高等学校自校作成問題（都立日比谷高等学校作成）第1問（３）
第一問なので時間はかけられませんが、誰でも解けるほど簡単ではないですね。さすが都立トップ校です。早く解く手順にすぐに気付けるかがポイントです。
それでは見ていきましょう。
まず図にわかっている情報をどんどん書き込みましょう。各点の座標は最低限必要ですよ。そして考えます。解答は手短に書いたので、こちらで補足していきます。まず直線の式を求めます。この時点で切片２も図に書き込みましょう。そしてＰＱという線分を作り三角形の面積を求めていますが、大丈夫ですか？座標上ではこのような底辺の取り方をよくします。上位校を狙うなら必須の知識です。三角形の三辺のうちのどれかが必ず底辺になるとは思わないで下さいね。そしてＰＱと切片が等しいことに気付けば「答えの１つ」がわかってしまいます。「答えの１つ」という所がポイントです。問題文にもｔの値を「すべて」求めよ、と書いてありますね。ｔは他にもあります。もう一つの求め方は日比谷を目指す生徒なら何度も解いたことがあるであろう放物線内の三角形の等積変形です。原点を通り直線ＡＢと平行な直線を引けば、もう１つのＰの座標が求められます。
この問題で必須の知識を２つ整理しておきましょう。
まずこれです。平行線で囲まれた三角形は底辺の長さが同じなら、頂点Ａが移動しても面積は等しくなる。これは三角形の高さの部分を見れば当たり前（高さは変っていない）ですね。
そしてもう一つ。
座標内の三角形でよく使う考え方です。ｘ軸に垂直な線分を底辺として考え、点Ａ、Ｃのｘ座標からわかる長さを高さとする考え方です。この図で言うと、ｐを境にＡ側とＣ側に2つの三角形ができますね。どちらも底辺はｐです。それぞれの高さはわかりませんが、２つの三角形の高さの合計はｑであることがわかるので、２つの合計の面積は求めることができるわけです。こういう見方も重要なので覚えておきましょう。
最後に別解を紹介します。
頂点の座標を明らかにして、点Ｑを取るまでは一緒です。そこから点Ｑの座標をｔの式で表してしまい、ＰＱの長さもｔの式で表します。その上でＰＱを底辺として三角形の面積を式にして解き進めます。どちらかというと図形より計算が好きな生徒はこちらで解くかも知れません。
他にも点と直線の距離の公式を使ったり、Ａ，Ｂからｘ軸に垂線を引き、大きい台形から三角形以外の小さい台形を２つ引く式を立てて解くこともできますが、時間がかかりそうですね。
＜総評＞とにかくこの問題はスピード重視です。答えのみを書く問題で途中式などは採点されないので、雑でもどんどん計算して答えを出す、という事が重要です。