平成25年度都立日比谷高等学校自校作成問題（都立日比谷高等学校作成）第4問
空間図形の問題です。しっかりと辺や面の位置関係が見抜けるかがポイントになります。
それでは問１から見ていきましょう。
点Ｐから辺ＥＦに引いた垂線の足をＩとすると、ＰＩ＝ＩＦ＝１になっているのがわかりますか？三角形ＰＩＦも三角形ＡＥＦと同じく直角二等辺三角形ですよね。あとは四角形ＰＩＧＫが長方形だとわかれば、解答のようにすぐに答えが出ます。
続いて問２です。
点Ｍ，Ｎ，Ｋの取り方を見ると三角形ＭＮＫは正三角形になっているということがわかります。なのでＰＫ⊥ＭＮです。さらに正三角形なので角ＭＮＫは６０度。２：１：√３が使える。ここまで見抜ければあとは簡単でしょう。
正三角形の１辺の長さがわかればＰＮはその半分。ＰＮがわかれば辺の比から、ＰＮを√３倍すればＰＫになる。これで底辺も高さもわかったので答えが出ます。
別解というほどではありませんが、正三角形の１辺を求めた後、正三角形の面積を一般式（以前の記事で紹介した式）から求め、その半分を答えとしても問題ないでしょう。
では最後に問３です。
比で求めようか、どこを底面にしようかということをこの手の問題では一番最初に考えます。そして面が傾いていてわかりづらいですが、点ＰからＬＦに垂線を引けば、それが高さになると見抜ければ、まずはＯＫ。とりあえず底面の面積を求めてしまいましょう。
次にＰＱの長さを求めるのですが、図の中だと見にくいので、平面図形として取り出します。これでだいぶ見やすくなりましたね。等しい角に印を付けると、相似な三角形がいくつも出てきました。証明問題ではないので、証明部分は手抜きで書いてしまいましたが、解答のように辺の比からどんどんＰＱまで求めることができました。これで体積が求められます。この問題のポイントは２つ。高さがＰＱになると見抜けるか、そしてＰＱをどう求めるか。短い時間でここまで見抜くのはなかなか大変です。忍耐強くこの手の問題を多く解くことでしか身に付いてこない部分でもあります。
＜総評＞日比谷高校の問題をまとめて解説してみました。日比谷の自校作成問題は「受験生の平均点」で５０点前後です。制限時間的にも１００点というのはほぼ不可能なのではないかと思います。記述式の問題を除くと合計で７０点。これだけに絞って７０点取れたら、受験生の平均を２０点越えたことになります。まずはこの７０点を目標に頑張る、そして記述式でさらに加点を狙い差をつけるというのが、合格へ向けてのこの学校の数学の攻め方だと思います。